Introducción al Numero
NÚMEROS
La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de dominios enteros (anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio.
El interés del humano por los números es tan antiguo como la civilización.
Son muchos los pueblos antiguos que se interesaron por los números bien por razones
prácticas inmediatas, bien por su relación con la astronomía y el cómputo
del tiempo o incluso asociados a la adivinación y el esoterismo. Entre todos
ellos destacan los griegos, que llegaron a desarrollar una teoría de números pura
guiada por criterios estrictamente matemáticos en el sentido moderno de la palabra.
Los griegos descubrieron las leyes básicas de la aritmética. Conocían la
división euclídea, los números primos, el cálculo del máximo común divisor y
el mínimo común múltiplo, etc.
Lo que hicieron los griegos al desarrollar la aritmética elemental fue simplemente descubrir
el lenguaje de los números, lo cual no equivale a entender lo que se lee en ese lenguaje. Para entender lo que queremos decir consideraremos un ejemplo tomado de la Aritmética de Diofanto.
Diofanto es el primer matemático griego que plantea los problemas aritméticos en
un campo totalmente abstracto, rompiendo de esa forma la costumbre bastante
arraigada de escribir los enunciados aludiendo a historias mitológicas Sus ecuaciones no tratan de resolver cuestiones geométricas, sino que
constituyen un fin en sí mismas. Las matemáticas comienzan a interesarse por las
operaciones que pueden realizarse con cualquier número, la idea de cualquier número desconocido permitió dar el salto de la aritmética al álgebra. Diofanto introduce símbolos para designar incógnitas y operaciones,
y utiliza algunas abreviaturas. Todo ello supone el comienzo de una nueva etapa
del Álgebra que suele denominarse Sincopada o Intermedia. La anterior expresaba
todas las cuestiones con palabras del lenguaje ordinario.
La principal obra de Diofanto es la Aritmética , que inicialmente constaba de 13 tomos,
y de los que solo se conocen los 6 primeros. En esta obra no aparecen
teoremas propiamente dichos, sino que incluye 189 problemas con sus soluciones;
la mayoría de ellos son ecuaciones de primer y segundo grado, desechando aquellas
que presentan soluciones negativas o imaginarias. En sus planteamientos aparecen
también potencias de exponente mayor que tres, lo que resulta una novedad,
ya que la matemática griega, al tener siempre como referente del problema su significado
geométrico, no podía concebir productos de más de tres factores. Sin embargo,
en un sentido netamente aritmético, dicha restricción desaparece. Diofanto resuelve
correctamente en su Aritmética problemas con ecuaciones indeterminadas,
de ahí que se suela llamar análisis diofántico a esta rama.
La palabra matemáticas viene del griego: µ’αθηµα (máthema) = ciencia, conocimiento o aprendizaje µαθηµατικ’οζ (mathematikós) = cariño por conocer.
Aritmética también viene del griego, ’αριθµ’ητικοζ (árithmétikos) de αριθµ’οζ (arithmós) = número y τ’εχνη (téchne) = arte o habilidad.
Podríamos definirla como el arte de contar. Es la más vieja y simple de todas las ramas de las
matemáticas, y estudia las propiedades elementales de ciertas operaciones sobre los números. Es usada a
diario por todo el mundo, tanto en las actividades más elementales como en las ciencias más sofisticadas
y complejas.
La primera “operación” con números no es sumar. La primera operación es contar, que ni siquiera es
exclusiva de los seres humanos. Hay experimentos que prueban que muchos animales cuentan. Usando la
operación contar como única herramienta uno podría llegar a realizar las siete operaciones elementales
cuando sólo involucren números naturales.
La prehistoria de la aritmética cuenta con muy pocos elementos. El más importante de ellos es quizás el conocido como hueso de Ishango (fig. 1), encontrado a las orillas del Nilo (África), y que fue hecho alrededor de 18000 a 20000 años antes de Cristo.
El sistema de numeración unario es un sistema de numeración biyectivo de base 1. Es el sistema de numeración más simple que existe para representar los números naturales. Para representar un número N, se elige un símbolo arbitrario, que será la única cifra que tenga dicho sistema de numeración, y se repetirá N veces. Por ejemplo, si tomamos el símbolo | como cifra única, el número 6 se representará como ||||||.
1850 años antes de Cristo en Babilonia se tenían sólidos conocimientos de los aspectos de la
aritmética elemental. Se encontraron medio millón de tablitas de cerámica con escritura cuneiforme y
unas 400 son de matemáticas. En la tablitas hay tablas de multiplicar, trabajos con fracciones, resolución
de ecuaciones lineales, etc. Hoy se llama fórmula de BHASKARA (indio, 1114-1185) a la resolvente de
la ecuación de segundo grado (Bhaskara investigó en profundidad este problema), pero los babilonios la
sabían resolver 3000 años antes. También trabajaron con la ecuación de tercer grado. Ellos usaban el sistema sexagesimal (base 60) que tiene mejores divisores
que la base 10, pero es obviamente más difícil, pero aún hoy usamos esa numeración para medir el tiempo
y la amplitud de los ángulos. Los babilonios calcularon la 2 con cinco cifras decimales. Ya se manejaba la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación con números positivos
desde hace unos 4000 años.
Alrededor del año 1650 antes de Cristo los egipcios escribieron los que hoy se conocen como papiros
matemáticos de Moscú, Rhind y Berlín, donde se describen algoritmos para la multiplicación, el uso de
fracciones y cálculos sumamente complicados, como determinar el volumen de una pirámide cuadrada
truncada (figura 2), con una base inferior con lados de 4 unidades, una base superior con lados de 2
unidades y una altura de 6 unidades. El resultado que obtuvieron (56 unidades cúbicas) es el correcto.
Trabajaban con suma, resta, producto, cociente, series aritméticas y geométricas, ecuaciones lineales, etc. En el papiro de Berlín que es un poco anterior (≈ 1800 años antes de Cristo) los antiguos egipcios demuestran que podían resolver la ecuación de segundo grado.
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El papiro de Rhind conocido así debido al autor Ahmes (A'h-mosè) a mediados del siglo XVI a. C., a partir de textos de trescientos años de antigüedad, según relata el propio Ahmes al principio del texto. El papiro fue descubierto en el siglo XIX, entre las ruinas de una edificación próxima al Ramesseum, y adquirido por Henry Rhind en 1858, contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, regla de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.
Se pueden clasificar en:
Operaciones con números enteros y fraccionarios (1 a 23, 47, 80, 81).
Resolución de ecuaciones de primer grado (24 a 27, 30 a 38).
Problemas de "pensar un número..." (28, 29).
Progresiones aritméticas (39, 40 y 64).
Volúmenes, capacidades y poliedros (41 a 46, 56 a 60).
Áreas de figuras planas (48 a 55).
Regla para obtener los 2/3 de números pares (61 y 61B).
Proporciones (62, 63, 65 a 68).
Progresiones geométricas (79). varios (80 a 87).
Aquí se encuentra el uso de fracciones. Los egipcios no realizaban el cálculo de fracciones como lo conocemos, pues escribían los números fraccionarios como suma de fracciones unitarias (las de la forma 1/n con n natural) distintas. Este tipo de sumas son conocidas hoy como fracciones egipcias.
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Los Papiros de Berlín son una serie de documentos egipcios del Imperio Medio, datados entre 2160 y 1700 a. C., que fueron encontrados a principios del siglo XIX en la necrópolis de Menfis, Saqqara.
Contienen datos médicos, incluyendo la primera documentación conocida referente a pruebas de embarazo y es el tratado de pediatría más antiguo que se conoce, con conjuros y prescripciones médicas para proteger tanto a la madre como al recién nacido así como para tratar las enfermedades infantiles.1 En los papiros 163 C y H y en los 164 A, B y C, se tratan los padecimientos de la zona perineal, con descripciones para tratar almorranas, prolapso, prurito, opresión, calor y benou (enfermedad no identificada).
Otros papiros también tratan problemas matemáticos: contienen uno indicado como el área de un cuadrado de 100 es igual a la de dos cuadrados más pequeños que sugiere un cierto conocimiento de lo que más adelante sería el Teorema de Pitágoras, aunque también podría tratarse de solucionar ecuaciones de segundo grado.
Los indos (800 a 600 años A.C.) usaban números irracionales, números primos, raíces cuadradas y cúbicas, calculaban la superficie del círculo, resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas, elaboraban demostraciones del teorema de Pitágoras, etc. Desde muy temprano, todas estas civilizaciones contaban con el teorema de Pitágoras, mucho antes de que PITÁGORAS (griego, -582,-507) hubiera nacido. Debe ponerse de relieve el alto respeto y aprecio de las primeras civilizaciones por la aritmética, y en particular debe destacarse el afecto hacia esa parte de la matemática manifestado por la escuela pitagórica (Grecia) seis siglos antes de Cristo. Existe una profunda conexión entre el uso y evolución de las operaciones y el desarrollo del número.
Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
Definición sin el cero: ℕ = {1, 2, 3 ,4, ...}
Definición con el cero: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica
con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si no se incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como ℕ*. Alternativamente también se utiliza ℕ - {0}.
Por el contrario, cuando el 0 se considera un número natural, al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denota ℕ0.
El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto A el cardinal de este conjunto se simboliza mediante |A|, n(A), card(A), ó |A|. Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.
Los números han ido evolucionando según las necesidades de calculo, primero fueron los números naturales debido a la necesidad de contar, luego los números enteros divididos por el cero en números enteros positivos y números enteros negativos.
Luego los números racionales surgieron por la necesidad de expresar cantidades no enteras, representadas como parte de un todo, de ahí el nombre de racional, de ración o fracción y se escribe en decimal o base 10 periódicamente.
Luego descubrieron los números irracionales definidos como aquellos que no se pueden escribir de la forma p/q y su parte decimal es no periódica. se atribuye su descubrimiento a Hipaso de metaponto alumno de la escuela pitagórica, por una demostración geométrica, utilizando la raíz de 2, la irracionalidad la descubrió cuando trataba de encontrar la racionalidad de este mismo número.
El matemático griego Teeteto (417 a. C. - 369 a. C) proponía el problema de encontrar el lado de un cuadrado, cuya área sea el doble del área de un cuadrado de lado m. Cuya solución conlleva la aparición de la raíz cuadrada de dos
En Babilonia y la antigua India ya se daba también una aproximación de la raíz de 2, pero no como raíz de 2 sino como número decimal no periódico.
Luego surgieron los números trascendente
La denominación «trascendental» la acuñó Leibniz cuando en un artículo de 1682 demostró que la función sin (x) no es una función algebraica de x, posteriormente Euler definió los números trascendentes en el sentido moderno. La existencia de los números trascendentes fue fi.
es un número que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros no todos nulos.
al contrario de número algebraico que es solución de una ecuación algebraica.
El conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.
La prehistoria de la aritmética cuenta con muy pocos elementos. El más importante de ellos es quizás el conocido como hueso de Ishango (fig. 1), encontrado a las orillas del Nilo (África), y que fue hecho alrededor de 18000 a 20000 años antes de Cristo.
Figura 1. Hueso de Ishango: Muestra un sistema de numeración unario.
El hueso tiene una serie de muescas que indican procesos de multiplicación y división por dos, una
columna con números impares y los primos que existen entre el número 10 y el 20 (11, 13, 17 y 19), de
modo que debemos interpretar que el que lo hizo conocía el concepto de la multiplicación y división. Un
hueso parecido de 37000 años de antigüedad fue encontrado en Swazilandia (África). Otro, con 57
muescas que data de 32000 años fue encontrado en Checoslovaquia.
Figura 2: Papiro de Moscú. Cálculo de área y/o volumen de una píramide truncada.
Trabajaban con suma, resta, producto, cociente, series aritméticas y geométricas, ecuaciones lineales, etc. En el papiro de Berlín que es un poco anterior (≈ 1800 años antes de Cristo) los antiguos egipcios demuestran que podían resolver la ecuación de segundo grado.
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El papiro de Rhind conocido así debido al autor Ahmes (A'h-mosè) a mediados del siglo XVI a. C., a partir de textos de trescientos años de antigüedad, según relata el propio Ahmes al principio del texto. El papiro fue descubierto en el siglo XIX, entre las ruinas de una edificación próxima al Ramesseum, y adquirido por Henry Rhind en 1858, contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, regla de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.
Se pueden clasificar en:
Operaciones con números enteros y fraccionarios (1 a 23, 47, 80, 81).
Resolución de ecuaciones de primer grado (24 a 27, 30 a 38).
Problemas de "pensar un número..." (28, 29).
Progresiones aritméticas (39, 40 y 64).
Volúmenes, capacidades y poliedros (41 a 46, 56 a 60).
Áreas de figuras planas (48 a 55).
Regla para obtener los 2/3 de números pares (61 y 61B).
Proporciones (62, 63, 65 a 68).
Progresiones geométricas (79). varios (80 a 87).
Aquí se encuentra el uso de fracciones. Los egipcios no realizaban el cálculo de fracciones como lo conocemos, pues escribían los números fraccionarios como suma de fracciones unitarias (las de la forma 1/n con n natural) distintas. Este tipo de sumas son conocidas hoy como fracciones egipcias.
papiro de Rhind
Los Papiros de Berlín son una serie de documentos egipcios del Imperio Medio, datados entre 2160 y 1700 a. C., que fueron encontrados a principios del siglo XIX en la necrópolis de Menfis, Saqqara.
Contienen datos médicos, incluyendo la primera documentación conocida referente a pruebas de embarazo y es el tratado de pediatría más antiguo que se conoce, con conjuros y prescripciones médicas para proteger tanto a la madre como al recién nacido así como para tratar las enfermedades infantiles.1 En los papiros 163 C y H y en los 164 A, B y C, se tratan los padecimientos de la zona perineal, con descripciones para tratar almorranas, prolapso, prurito, opresión, calor y benou (enfermedad no identificada).
Otros papiros también tratan problemas matemáticos: contienen uno indicado como el área de un cuadrado de 100 es igual a la de dos cuadrados más pequeños que sugiere un cierto conocimiento de lo que más adelante sería el Teorema de Pitágoras, aunque también podría tratarse de solucionar ecuaciones de segundo grado.
Los indos (800 a 600 años A.C.) usaban números irracionales, números primos, raíces cuadradas y cúbicas, calculaban la superficie del círculo, resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas, elaboraban demostraciones del teorema de Pitágoras, etc. Desde muy temprano, todas estas civilizaciones contaban con el teorema de Pitágoras, mucho antes de que PITÁGORAS (griego, -582,-507) hubiera nacido. Debe ponerse de relieve el alto respeto y aprecio de las primeras civilizaciones por la aritmética, y en particular debe destacarse el afecto hacia esa parte de la matemática manifestado por la escuela pitagórica (Grecia) seis siglos antes de Cristo. Existe una profunda conexión entre el uso y evolución de las operaciones y el desarrollo del número.
Números naturales
Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
Definición sin el cero: ℕ = {1, 2, 3 ,4, ...}
Definición con el cero: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica
con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si no se incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como ℕ*. Alternativamente también se utiliza ℕ - {0}.
Por el contrario, cuando el 0 se considera un número natural, al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denota ℕ0.
El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto A el cardinal de este conjunto se simboliza mediante |A|, n(A), card(A), ó |A|. Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.
Los números han ido evolucionando según las necesidades de calculo, primero fueron los números naturales debido a la necesidad de contar, luego los números enteros divididos por el cero en números enteros positivos y números enteros negativos.
Luego descubrieron los números irracionales definidos como aquellos que no se pueden escribir de la forma p/q y su parte decimal es no periódica. se atribuye su descubrimiento a Hipaso de metaponto alumno de la escuela pitagórica, por una demostración geométrica, utilizando la raíz de 2, la irracionalidad la descubrió cuando trataba de encontrar la racionalidad de este mismo número.
El matemático griego Teeteto (417 a. C. - 369 a. C) proponía el problema de encontrar el lado de un cuadrado, cuya área sea el doble del área de un cuadrado de lado m. Cuya solución conlleva la aparición de la raíz cuadrada de dos
En Babilonia y la antigua India ya se daba también una aproximación de la raíz de 2, pero no como raíz de 2 sino como número decimal no periódico.
Aproximación en Babilonia
aproximación de raíz de 2 en cuatro dígitos sexagesimales, que es similar a seis cifras decimales.
Aproximación de la India.
Incrementa la longitud [del lado] por su tercera parte, y su tercera por sus tres cuartas y su tercera por su treinta y cuatroava parte de cuatro.
Luego surgieron los números trascendente
La denominación «trascendental» la acuñó Leibniz cuando en un artículo de 1682 demostró que la función sin (x) no es una función algebraica de x, posteriormente Euler definió los números trascendentes en el sentido moderno. La existencia de los números trascendentes fue fi.
es un número que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros no todos nulos.
al contrario de número algebraico que es solución de una ecuación algebraica.
El conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.
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