ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

 

El Último Teorema de Fermat es uno de los teoremas más famosos en la historia de las matemáticas. Fue formulado por Pierre de Fermat en 1637, y afirma que:

No existen enteros positivos $x,y,z$ que satisfagan la ecuación:

$$x^n+y^n=z^n$$

para cualquier entero $n>2$.

Fermat afirmó tener una demostración maravillosa de este teorema, pero el margen de su libro era demasiado pequeño para contenerla. Durante más de 350 años, este problema permaneció sin resolver, hasta que fue demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1994.

 

Demostración de Andrew Wiles (Resumen conceptual)

La demostración de Wiles es extremadamente avanzada y utiliza herramientas de la teoría de números y la geometría algebraica, en particular, las curvas elípticas y las formas modulares. Aquí hay un resumen conceptual de los pasos clave:

1. Conjetura de Taniyama-Shimura-Weil:
   Wiles demostró que toda curva elíptica semiestable sobre los números racionales es modular. Esto significa que existe una forma modular asociada a la curva elíptica.

2. Relación con el Último Teorema de Fermat:
   Si existiera una solución no trivial a la ecuación $x^n+y^n=z^n$ para $n>2$, se podría construir una curva elíptica (llamada curva de Frey) que no sería modular. Esto contradiría la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.

    Contradicción:
   Como Wiles demostró que todas las curvas elípticas semiestables son modulares, la curva de Frey no puede existir. Por lo tanto, no puede haber soluciones no triviales a la ecuación de Fermat.

    

   1. Curva de Frey:
      Dada una supuesta solución $(a,b,c)$ a la ecuación de Fermat, la curva de Frey se define como:

      $$y^2=x(x-a^n)(x+b^n)\mathrm{.}$$

      Esta curva tiene propiedades especiales que la hacen no modular.

   2. Teorema de Ribet:
      Ribet demostró que si la curva de Frey existiera, estaría asociada a una forma modular de peso 2 y nivel 2. Sin embargo, Wiles demostró que esto es imposible.

   3. Demostración de Wiles:
      Wiles utilizó técnicas avanzadas de deformación de representaciones galoisianas y demostró que todas las curvas elípticas semiestables son modulares, cerrando así la puerta a la existencia de soluciones no triviales a la ecuación de Fermat.

    

   La demostración completa del Último Teorema de Fermat es muy extensa y compleja; fue finalmente demostrada por Andrew Wiles en 1994, utilizando técnicas avanzadas de geometría algebraica y teoría de números, como las curvas elípticas y las formas modulares. Aquí te doy un breve resumen:

3. Curvas elípticas y formas modulares: La demostración de Wiles establece una conexión entre ciertos tipos de curvas elípticas y formas modulares. En particular, trabaja con un tipo específico de curva elíptica conocida como curva de Frey-Hellegouarch.

4. Teorema de modularidad: Wiles y su colaborador Richard Taylor demostraron que todas las curvas elípticas semiestables sobre los números racionales son modulares, lo cual fue un avance crucial en la demostración.

5. Deducción final: Usando el Teorema de modularidad, Wiles pudo mostrar que cualquier contradicción en el contexto del Teorema de Fermat también sería una contradicción en el contexto de la modularidad de ciertas curvas elípticas, lo cual no es posible.